Alle 5 Lektionen kompakt — mit interaktiven Demos und Mini-Quiz zur Klausurvorbereitung.
Konvergenz, Monotonie, Grenzwerte und spezielle Reihen
Eine Folge (aₙ) ist eine geordnete Aneinanderreihung reeller Zahlen nach einer Gesetzmäßigkeit. Jedes Element heißt Folgenglied, die Nummerierung durch den Index n ∈ ℕ.
Formel direkt angeben: bₙ = 2·n → 2, 4, 6, 8, …
Jedes Glied aus dem Vorherigen: fₙ = fₙ₋₂ + fₙ₋₁
| Eigenschaft | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Mon. wachsend | aₙ₊₁ ≥ aₙ | 1, 2, 3, 4, … |
| Streng mon. wachsend | aₙ₊₁ > aₙ | n² |
| Mon. fallend | aₙ₊₁ ≤ aₙ | 1/n |
| Alternierend | Vorzeichen wechselt | (-1)ⁿ = -1, 1, -1, … |
| Beschränkt | ∃ s ≤ aₙ ≤ S | (-1)ⁿ: s=-1, S=1 |
1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Jede beschränkte und monotone Folge konvergiert.
Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn für alle ε > 0 fast alle Glieder in der ε-Umgebung liegen: |aₙ − a| < ε. Schreibweise: lim(n→∞) aₙ = a
Konstante Differenz d:
Bsp: 5, 9, 13, 17 → d = 4
Konstanter Quotient q:
Bsp: 1, 2, 4, 8 → q = 2
Eine Reihe (sₙ) entsteht durch schrittweise Summation: sₙ = ∑aⁱ (i=1..n). Jedes Glied sₙ heißt n-te Partialsumme.
Summe 1…n: sₙ = n(n+1)/2 (Gauß)
Konvergiert für |q| < 1: S∞ = a₁/(1−q)
Reihe konvergiert nur wenn (aₙ) eine Nullfolge ist. Umkehrung gilt nicht! (Harmonische Reihe ∑1/n divergiert, obwohl 1/n → 0.)
Definitionen, Elementarfunktionen, Exponential-, Logarithmus- und Trigonometrische Funktionen
Eine Funktion f: A → B ordnet jedem x ∈ A eindeutig ein f(x) ∈ B zu. A = Definitionsbereich, B = Wertebereich. Zwei Argumente dürfen denselben Funktionswert haben — aber ein Argument darf nicht zwei Werte haben.
Verschiedene Argumente → verschiedene Bilder. f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂
Jedes Element des Wertebereichs wird mindestens einmal getroffen. Bild(f) = B.
Injektiv und surjektiv → nur dann existiert die Umkehrfunktion f⁻¹.
Verkettung: (f∘g)(x) = f(g(x)) — erst g, dann f anwenden.
| Typ | Formel | Graph | Besonderheit |
|---|---|---|---|
| Linear | ax + b | Gerade | Steigung a, Achsenabschnitt b |
| Quadratisch | ax² + bx + c | Parabel | a>0 ↑, a<0 ↓ |
| Polynom Grad n | ∑ aᵏxᵏ | Kurve | Max. n Nullstellen |
| Exponential | aˣ, a>0, a≠1 | Monoton, asym. | a>1: Wachstum; 0<a<1: Abnahme |
| Logarithmus | logₐ(x) | Linksgekrümmt | Umkehrfunktion von aˣ |
| Sinus / Cosinus | sin(x), cos(x) | Periodisch 2π | Wertebereich [−1, 1] |
f(x) = eˣ: Die Ableitung ist sich selbst gleich: (eˣ)' = eˣ. Umkehrfunktion: ln(x). Wichtig: eˣ·ln(a) = aˣ
Ableitungsregeln, höhere Ableitungen, Taylorpolynom, Kurvendiskussion, Partielle Ableitungen
Die erste Ableitung f'(x) ist der Grenzwert: f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx. Sie beschreibt die Steigung der Tangente im Punkt (x, f(x)).
Definitions- und Wertebereich: kritisch bei Brüchen (Nenner ≠ 0), Wurzeln (Argument ≥ 0), ln (Argument > 0).
Symmetrie: f(−x)=f(x) → y-Achsensymmetrie. f(−x)=−f(x) → Punktsymmetrie zum Ursprung.
Nullstellen: f(x)=0 lösen. Polstellen: Nenner=0 prüfen.
Grenzverhalten: f(x) für x → ±∞? Asymptoten?
Extremwerte: f'(x₀)=0 → Kandidaten. f''(x₀)<0 → Maximum, f''(x₀)>0 → Minimum.
Wendepunkte: f''(x₀)=0 und f'''(x₀)≠0. Sattelpunkt: f'=f''=0 und f'''≠0.
Skizze mit allen gefundenen Punkten.
Annäherung einer Funktion durch Polynom um x₀:
∂f/∂x: y als Konstante behandeln. ∂f/∂y: x als Konstante. Gradient: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y).
Unbestimmtes & bestimmtes Integral, Hauptsatz, Integrationsregeln, Rotationskörper
F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x). Das unbestimmte Integral: ∫f(x)dx = F(x) + C (C = Integrationskonstante).
Innere Funktion g(x) erkennen, z = g(x) setzen.
Ableitung: dz = g'(x) dx → dx = dz/g'(x) ersetzen.
Integral in z lösen: ∫f(z) dz = F(z) + C
Rücksubstitution: z durch g(x) ersetzen.
z = 3x−4, z' = 3 → ∫z⁴ dz = z⁵/5 → F(x) = (3x−4)⁵/5 + C
f=x, g'=eˣ → g=eˣ, f'=1
f=x, g'=cos → g=sin, f'=1
Der Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse auf [a,b]:
Grundbegriffe, homogene und inhomogene DGL erster Ordnung, Anfangswertprobleme
Eine Differentialgleichung (DGL) verknüpft eine unbekannte Funktion y(x) mit ihren Ableitungen. Die Ordnung = höchste auftretende Ableitung. Lösung ist eine Funktion, keine Zahl!
Form: y' + c·y = 0
Rechte Seite = 0. Lösung: Funktionenschar y = A·eᶜˣ
Form: y' + c·y = s(x)
Rechte Seite ≠ 0. Lösung: y = yₕ + yₛ
Umschreiben: y'/y = c
Integrieren: ln|y| = c·x + C
Exponenzieren: y = A·eᶜˣ (A ∈ ℝ)
y(x) = A·eᶜˣ = allgemeine Lösung (Funktionenschar). Mit Anfangsbedingung y(0) = y₀: A = y₀ (spezielle Lösung / Anfangswertproblem).
Population nähert sich oberer Grenze K. Inhomogene DGL: y' + c·y = c·K
Anwendungen: Bakterienwachstum (Platzlimit), Abkühlung (Newtons Gesetz), Kapitalwachstum.
Alle wichtigen Formeln aus den 5 Lektionen auf einen Blick