Mathematik: Analysis
DLBBIMD01 – Komplette Prüfungsvorbereitung
Willkommen zur Prüfungsvorbereitung!
Dieses interaktive Skript erklärt dir den gesamten Stoff der Vorlesung von Grund auf, als hättest du noch nie etwas davon gehört. Jedes Konzept wird mit Alltagsbeispielen, Schritt-für-Schritt-Rechnungen und Merkhilfen erklärt.
Der Kurs besteht aus 5 Lektionen:
Lektion 1
Folgen und Reihen – Was passiert, wenn Zahlen einem Muster folgen? Wachsen sie ins Unendliche oder nähern sie sich einem Wert an?
Lektion 2
Funktionen und Umkehrfunktionen – Wie ordnet man Eingaben eindeutig Ausgaben zu? Was sind Exponential-, Logarithmus- und Sinus-/Kosinusfunktionen?
Lektion 3
Differentialrechnung – Wie schnell ändert sich etwas? Ableitungen, Ableitungsregeln, Taylorreihen und Kurvendiskussion.
Lektion 4
Integralrechnung – Die Umkehrung des Ableitens: Flächen berechnen, Stammfunktionen und Rotationskörper.
Lektion 5
Differentialgleichungen – Gleichungen, deren Lösung nicht eine Zahl, sondern eine ganze Funktion ist. Wachstums- und Abkühlprozesse.
Lernmodi
Nutze die Navigation oben, um durch die Lektionen zu springen, oder teste dein Wissen mit dem Quiz (30 Prüfungsfragen) und den Flashcards (Schnell-Wiederholung). Die Formelsammlung fasst alle wichtigen Formeln kompakt zusammen.
Was ist eine Folge?
Stell dir vor, du zählst etwas auf – aber nach einer bestimmten Regel. Zum Beispiel: 2, 4, 6, 8, 10, ... Das ist eine Folge. Jede einzelne Zahl nennt man ein Folgenglied, und die Position in der Reihe heißt Index (also n = 1, 2, 3, ...).
Definition: Folge
Eine Folge (aₙ) ist eine nach einer Gesetzmäßigkeit geordnete Abfolge von reellen Zahlen a₁, a₂, a₃, ... Jedes Glied hat einen Index n ∈ ℕ.
Es gibt zwei Arten, eine Folge anzugeben:
1. Explizit (Bildungsgesetz): Du gibst eine Formel an, z.B. bₙ = 2·n → ergibt 2, 4, 6, 8, ...
2. Rekursiv: Du sagst, wie das nächste Glied aus den vorherigen entsteht, z.B. die berühmte Fibonacci-Folge: fₙ = fₙ₋₂ + fₙ₋₁ mit f₁ = 0, f₂ = 1 → ergibt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Praxisbeispiel: Waldbestand
Herbert hat 1.000 Hektar Wald. Jedes Jahr wächst er um 5%, aber 70 Hektar werden abgeholzt. Als Folge: wₙ = 1,05 · wₙ₋₁ − 70 mit w₁ = 1.000. Das ergibt: 1000, 980, 959, 937, ... → Der Wald schrumpft!
Monotonie: Wächst oder fällt die Folge?
Werden die Glieder immer größer, heißt die Folge monoton wachsend. Werden sie immer kleiner: monoton fallend. „Streng" bedeutet: es gibt nie zwei gleiche aufeinanderfolgende Glieder.
streng monoton wachsend: aₙ₊₁ > aₙ für alle n
streng monoton fallend: aₙ₊₁ < aₙ für alle n
monoton wachsend: aₙ₊₁ ≥ aₙ für alle n
monoton fallend: aₙ₊₁ ≤ aₙ für alle n
Die Folge (−1)ⁿ = −1, 1, −1, 1, ... ist alternierend – sie springt hin und her und ist NICHT monoton.
Beschränktheit: Gibt es eine Grenze?
Eine Folge ist nach oben beschränkt, wenn kein Glied größer als ein Wert S wird. Nach unten beschränkt, wenn kein Glied kleiner als ein Wert s wird. Beides zusammen = beschränkt.
Beispiel
Die Folge (−1)ⁿ ist beschränkt: alle Glieder liegen zwischen −1 und 1. Die Folge bₙ = 2n ist unbeschränkt nach oben (wächst ohne Ende), aber nach unten durch 2 beschränkt.
Konvergenz und Grenzwert – Das Herzstück!
Die zentrale Frage: Nähert sich eine Folge einem bestimmten Wert an? Wenn ja, nennt man diesen Wert den Grenzwert (oder Limes), und die Folge heißt konvergent.
Definition: Konvergenz
Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen a, wenn für jedes noch so kleine ε > 0 fast alle Folgenglieder in der ε-Umgebung um a liegen (also |aₙ − a| < ε). Man schreibt: lim(n→∞) aₙ = a.
Anschaulich: Egal wie eng du ein Fenster um den Grenzwert legst – irgendwann liegen ALLE weiteren Glieder darin. Nur endlich viele dürfen draußen bleiben.
Beispiel: gₙ = 1/(2n)
g₁=0,5 → g₂=0,25 → g₃=0,167 → ... → Die Werte werden immer kleiner und nähern sich 0 an. Der Grenzwert ist 0. Das ist auch eine
Nullfolge.
Hat eine Folge keinen Grenzwert, heißt sie divergent. Beispiele: bₙ = 2n (wächst ins Unendliche), dₙ = (−1)ⁿ (springt hin und her).
Prüfungsrelevante Merksätze
✓ Jede konvergente Folge ist beschränkt.
✓ Jede unbeschränkte Folge ist divergent (Kontraposition).
✓ Jede beschränkte UND monotone Folge konvergiert.
✓ Beschränkt allein reicht NICHT für Konvergenz (Gegenbeispiel: (−1)ⁿ).
Grenzwertsätze – Rechnen mit Grenzwerten
Wenn du den Grenzwert von zwei Folgen kennst (a und b), dann kannst du auch den Grenzwert ihrer Kombination bestimmen:
lim(aₙ + bₙ) = a + b (Summe)
lim(aₙ − bₙ) = a − b (Differenz)
lim(aₙ · bₙ) = a · b (Produkt)
lim(aₙ / bₙ) = a / b (Quotient, b ≠ 0)
lim(aₙʳ) = aʳ (Potenz)
Arithmetische und Geometrische Folgen
Arithmetische Folge
Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist immer gleich: d = aₙ₊₁ − aₙ = konstant. Allgemeines Glied:
aₙ = a₁ + (n−1)·d. Beispiel: 5, 9, 13, 17, ... (d = 4).
Geometrische Folge
Der Quotient zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist immer gleich: q = aₙ₊₁/aₙ = konstant. Allgemeines Glied:
aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. Beispiel: 1, 2, 4, 8, 16, ... (q = 2).
Konvergenz geometrischer Folgen: Für |q| < 1 konvergiert die Folge gegen 0. Für q > 1 divergiert sie. Für q < 0 alterniert sie.
Reihen – Wenn man Folgenglieder aufsummiert
Eine Reihe entsteht, wenn man die Glieder einer Folge nacheinander aufaddiert. Die Summe der ersten n Glieder heißt n-te Partialsumme: sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ
Notwendige Bedingung für Konvergenz
Eine unendliche Reihe kann NUR dann konvergieren, wenn die zugehörige Folge eine
Nullfolge ist. ABER: Das allein reicht nicht! Die
harmonische Reihe Σ(1/n) divergiert, obwohl 1/n eine Nullfolge ist!
Arithmetische Reihe: sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ). Speziell für 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 (Gaußsche Summenformel)
Geometrische Reihe: sₙ = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1). Diese konvergiert genau dann, wenn |q| < 1, und der Grenzwert ist dann: a₁/(1−q)
Beispiel: Brunnenbohrung
Der 1. Meter kostet 80€, jeder weitere 8% mehr (q = 1,08). Gesamtkosten für 12m: s₁₂ = 80 · (1,08¹² − 1)/0,08 = 1.518,17€
Wichtige Grenzwerte zum Merken
lim(n→∞) x/n = 0 (für alle x ∈ ℝ)
lim(n→∞) xⁿ = 0 (für |x| < 1)
lim(n→∞) ⁿ√n = 1
lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828 (Eulersche Zahl!)
lim(n→∞) (1 + x/n)ⁿ = eˣ
Σ(1/k!) = e (Reihe für e)
Leibniz-Reihe: 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = π/4
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist wie eine Maschine: du wirfst eine Zahl rein (den Eingabewert x aus dem Definitionsbereich A), und es kommt genau EINE Zahl raus (der Funktionswert f(x) aus dem Wertebereich B). Schreibweise: f: A → B.
Wichtigste Regel einer Funktion
Jedem Eingabewert wird
genau ein Funktionswert zugeordnet. Zwei verschiedene Eingaben dürfen den gleichen Ausgang haben – aber EINE Eingabe darf NICHT zwei verschiedene Ausgaben haben!
Wichtige Grundfunktionen:
• Identität: id(x) = x → gibt den Eingabewert unverändert zurück
• Konstante Funktion: const(x) = c → gibt immer denselben Wert c zurück
• Betragsfunktion: |x| → macht negative Zahlen positiv, positive bleiben
Elementare Funktionsfamilien
Lineare Funktionen
f(x) = a·x + b → Graph ist eine Gerade.
a = Steigung,
b = y-Achsenabschnitt. a > 0: steigend, a < 0: fallend, a = 0: waagrecht.
Quadratische Funktionen
f(x) = a·x² + b·x + c → Graph ist eine Parabel. a > 0: nach oben offen, a < 0: nach unten offen. Scheitelpunkt bei x = −b/(2a).
Ganzrationale Funktionen (Polynome)
f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Der höchste Exponent n bestimmt den „Grad" des Polynoms. Grad 1 = linear, Grad 2 = quadratisch, Grad 3 = kubisch, usw.
Komposition (Verkettung)
Man kann zwei Funktionen „hintereinander schalten": erst f anwenden, dann g. Man schreibt (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Lies: „g nach f". ACHTUNG: Die Reihenfolge ist wichtig! g(f(x)) ≠ f(g(x)) im Allgemeinen.
Beispiel
f(x) = 2x − 1 und g(x) = x². Dann: (g ∘ f)(x) = g(2x−1) = (2x−1)² = 4x²−4x+1. Aber (f ∘ g)(x) = f(x²) = 2x²−1. → Andere Ergebnisse!
Surjektiv, Injektiv, Bijektiv
Diese drei Eigenschaften sind entscheidend dafür, ob eine Funktion umkehrbar ist.
Surjektiv
Jedes Element im Wertebereich wird mindestens einmal „getroffen". Kein Element im Wertebereich bleibt „leer".
Injektiv
Verschiedene Eingaben → verschiedene Ausgaben. Nie werden zwei x-Werte auf denselben y-Wert abgebildet. Merkhilfe: „Streng monotone Funktionen sind injektiv."
Bijektiv = surjektiv + injektiv
Jedes Element im Wertebereich wird
genau einmal getroffen. NUR bijektive Funktionen sind
invertierbar (umkehrbar)!
Prüfungstipp
x² ist NICHT injektiv auf ℝ (denn f(2) = f(−2) = 4). Erst wenn du den Definitionsbereich auf ℝ⁺ einschränkst, wird sie injektiv. Dann ist die Umkehrfunktion √x.
Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktion: f(x) = aˣ mit a > 0. Die Basis a steht unten, x oben im Exponenten. Für a > 1 wächst die Funktion (Wachstumsprozess), für 0 < a < 1 fällt sie (Zerfall).
Natürliche Exponentialfunktion: f(x) = eˣ mit e ≈ 2,71828 (Eulersche Zahl). Besonders wichtig, weil die Ableitung von eˣ wieder eˣ ist!
Logarithmusfunktion: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: x = log_a(y) bedeutet aˣ = y. Der natürliche Logarithmus ln(x) = log_e(x) ist die Umkehrfunktion von eˣ.
Wichtige Zusammenhänge:
ln(eˣ) = x und e^(ln x) = x
log_a(aˣ) = x und a^(log_a x) = x
Trigonometrische Funktionen
Basierend auf dem Einheitskreis (Radius = 1). Ein Punkt P auf dem Kreis mit Winkel x (im Bogenmaß) hat die Koordinaten (cos x, sin x).
Bogenmaß: 360° = 2π, 180° = π, 90° = π/2. Umrechnung: x = α/360 · 2π
sin: Wertebereich [−1, 1], Periode 2π
cos: Wertebereich [−1, 1], Periode 2π
tan = sin/cos, Periode π
cot = cos/sin, Periode π
sin²x + cos²x = 1 (Satz des Pythagoras!)
sin(x + π/2) = cos(x)
Umkehrfunktionen: arcsin, arccos, arctan, arccot – existieren nur auf eingeschränkten Intervallen (wo sin/cos/tan streng monoton sind).
Anwendung: Temperaturmodellierung
Temperaturschwankungen lassen sich als Schwingung modellieren: f(x) = a·sin(b·x) + d, wobei a = Amplitude, b = 2π/Periodenlänge, d = mittleres Niveau.
Von der Sekante zur Tangente
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich: m = Δy/Δx. Aber was ist die Steigung bei einer Kurve? Die Idee: Nimm zwei Punkte auf der Kurve, verbinde sie (= Sekante) und berechne deren Steigung. Dann rücke die Punkte immer näher zusammen. Im Grenzfall berührt die Gerade die Kurve nur noch in EINEM Punkt – das ist die Tangente.
Differentialquotient = Erste Ableitung
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) − f(x)] / Δx
Die erste Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an – also wie schnell sich die Funktion dort ändert.
Potenzregel – Die wichtigste Regel!
f(x) = a·xⁿ → f'(x) = a·n·xⁿ⁻¹
Beispiele:
x³ → 3x²
5x⁴ → 20x³
√x = x^(1/2) → (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)
Konstante c → 0 (Konstanten „verschwinden")
Ableitungen elementarer Funktionen
Die 4 Ableitungsregeln
Summenregel
(f + g)' = f' + g' → Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.
Produktregel
(f · g)' = f' · g + f · g' → „Ableitung des Ersten mal Zweites plus Erstes mal Ableitung des Zweiten"
Quotientenregel
(f/g)' = (g·f' − f·g') / g² → „Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner, geteilt durch Nenner zum Quadrat"
Kettenregel
[g(h(x))]' = g'(h(x)) · h'(x) → „Äußere Ableitung mal innere Ableitung"
Kettenregel Beispiel
f(x) = (3x−4)⁶ → äußere Funktion: h⁶, innere: 3x−4. f'(x) = 6·(3x−4)⁵ · 3 = 18·(3x−4)⁵
Höhere Ableitungen
Man kann die Ableitung nochmal ableiten: f''(x) = zweite Ableitung (Krümmung), f'''(x) = dritte Ableitung, usw. Besonderheiten: eˣ abgeleitet ergibt immer eˣ. Bei Polynomen sinkt der Grad bei jeder Ableitung um 1, bis nur noch 0 übrig bleibt.
Taylorreihe und Taylorpolynom
Jede „brave" Funktion (unendlich oft differenzierbar) lässt sich als unendliche Summe von Polynomen darstellen – die Taylorreihe. Das Geniale: Man kann komplizierte Funktionen (wie sin) durch einfache Polynome annähern!
Taylorreihe um x = 0:
T_f(x) = Σ(k=0 bis ∞) [f⁽ᵏ⁾(0) / k!] · xᵏ
Taylorpolynom n-ten Grades = Partialsumme der Reihe
Wichtige Taylorreihen:
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ...
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
Kurvendiskussion – Schritt für Schritt
Die Kurvendiskussion ist eine systematische Analyse einer Funktion. Hier der komplette Ablauf:
1. Definitions- und Wertebereich
Wo ist die Funktion definiert? (Achtung bei Brüchen: Nenner ≠ 0, bei Wurzeln: Radikand ≥ 0, bei ln: Argument > 0)
2. Symmetrie
f(−x) = f(x) → achsensymmetrisch zur y-Achse. f(−x) = −f(x) → punktsymmetrisch zum Ursprung.
3. Nullstellen
Löse f(x) = 0. Hier schneidet der Graph die x-Achse.
4. Extremwerte (Hoch-/Tiefpunkte)
Notwendig: f'(x₀) = 0. Dann: f''(x₀) < 0 → Hochpunkt, f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt.
5. Wendepunkte
f''(x₀) = 0 UND f'''(x₀) ≠ 0 → Wendepunkt. Sattelpunkt: zusätzlich f'(x₀) = 0.
Monotonie aus der 1. Ableitung
f'(x) > 0 → f steigt (streng monoton wachsend). f'(x) < 0 → f fällt (streng monoton fallend).
Partielle Ableitungen (Ausblick)
Funktionen mit mehreren Variablen (z.B. f(x₁, x₂) = x₁² + x₂²) leitet man nach jeder Variablen getrennt ab, wobei die anderen als Konstanten behandelt werden. Die Notation ist ∂f/∂x₁. Die Reihenfolge der partiellen Ableitungen ist vertauschbar: f''_xy = f''_yx.
Was ist Integrieren?
Wenn Ableiten bedeutet „Wie schnell ändert sich etwas?", dann fragt Integrieren: „Was hat sich insgesamt angesammelt?" Man sucht eine Funktion F(x), deren Ableitung die gegebene Funktion f(x) ist: F'(x) = f(x). F heißt Stammfunktion.
Unbestimmtes Integral
∫f(x) dx = F(x) + C, wobei F'(x) = f(x) und C ∈ ℝ die
Integrationskonstante ist. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen (verschoben um C).
Beispiel
Welche Funktion hat als Ableitung 3x? Antwort: F(x) = (3/2)x² + C, denn ((3/2)x²)' = 3x ✓. Die Konstante C verschwindet beim Ableiten.
Integrationsregeln
Faktorregel: ∫c·f(x) dx = c · ∫f(x) dx (Konstante rausziehen)
Summenregel: ∫(f+g) dx = ∫f dx + ∫g dx (gliedweise integrieren)
Substitutionsregel: Wenn der Integrand die Form f(g(x))·g'(x) hat, setze z = g(x), dann ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x))
Partielle Integration: ∫f·g' dx = f·g − ∫f'·g dx (Umkehrung der Produktregel)
Partielle Integration Beispiel
∫x·eˣ dx: Wähle f(x) = x, g'(x) = eˣ → g(x) = eˣ, f'(x) = 1. Dann: x·eˣ − ∫1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C
Das bestimmte Integral – Flächen berechnen!
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Das bestimmte Integral gibt den
Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse auf dem Intervall [a, b] an.
Wichtige Regeln für bestimmte Integrale:
• Vertauschungsregel: ∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ
• Zerlegungsregel: ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ
• Die Integrationskonstante C fällt weg (hebt sich auf bei F(b) − F(a))
Achtung bei Vorzeichenwechsel!
Wenn f(x) unter die x-Achse geht, wird das Integral dort negativ. Für den tatsächlichen Flächeninhalt musst du die Nullstellen bestimmen, das Integral aufteilen und die Beträge addieren.
Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern
Rotiert man eine Fläche um die x-Achse, entsteht ein 3D-Körper.
Volumen: V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Bogenlänge: L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx
Mantelfläche: M = 2π · ∫ₐᵇ f(x)·√(1 + [f'(x)]²) dx
Beispiel: Zylinder
f(x) = 2 auf [1,4]: V = π · ∫₁⁴ 4 dx = π · [4x]₁⁴ = π(16−4) = 12π ≈ 37,7 → Stimmt mit V = r²πh = 4·π·3 überein!
Was ist eine Differentialgleichung (DGL)?
Bei einer normalen Gleichung wie x² = 4 ist die Lösung eine Zahl (x = ±2). Bei einer Differentialgleichung steht die gesuchte Funktion UND ihre Ableitung in einer Gleichung – und die Lösung ist eine ganze Funktion!
Beispiel
y' = y → „Welche Funktion ist gleich ihrer eigenen Ableitung?" Antwort: y(x) = a·eˣ für beliebiges a ∈ ℝ. Denn (a·eˣ)' = a·eˣ ✓
Die Ordnung einer DGL wird durch die höchste vorkommende Ableitung bestimmt (y' → 1. Ordnung, y'' → 2. Ordnung).
Lineare homogene DGL 1. Ordnung: y' = c·y
Das ist die einfachste Art. „Homogen" bedeutet: auf der rechten Seite steht 0 (also y' − c·y = 0).
Lösungsweg: Trennung der Variablen
y'/y = c → ∫(y'/y) dx = ∫c dx → ln|y| = cx + C → y = ±eᶜ · eᶜˣ →
y(x) = a · eᶜˣ (a ∈ ℝ)
Diese Lösung ist eine Funktionenschar (unendlich viele Funktionen, parametrisiert durch a) = die allgemeine Lösung. Ein Richtungsfeld visualisiert alle möglichen Lösungen.
Durch eine Anfangsbedingung y(0) = y₀ wird genau EIN a bestimmt → spezielle Lösung.
Bakterienwachstum
Wachstumsrate c = 0,14/h, Anfangspopulation y₀ = 100. DGL: y' = 0,14·y. Lösung: y(t) = 100·e^(0,14t). Nach 24h: y(24) = 100·e^(3,36) ≈ 2.879 Bakterien!
Lineare inhomogene DGL 1. Ordnung: y' + c·y = s
Wenn auf der rechten Seite eine Konstante s ≠ 0 steht (inhomogen), gibt es eine obere/untere Grenze – begrenztes Wachstum.
Lösungsprinzip
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL setzt sich zusammen aus:
y(x) = yₕ(x) + yₛ(x)
yₕ = allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL
yₛ = eine beliebige spezielle Lösung der inhomogenen DGL
Für das begrenzte Wachstum y'(t) = c·(K − y(t)) mit Grenze K:
Allgemeine Lösung: y(t) = a·e⁻ᶜᵗ + K
Mit Anfangsbedingung y(0) = y₀: y(t) = (y₀ − K)·e⁻ᶜᵗ + K
Abkühlung von Tee (Newton'sches Abkühlgesetz)
T'(t) = −k·(T(t) − Tᵤ), k = 0,012/min, T₀ = 95°C, Tᵤ = 20°C.
Lösung: T(t) = 75·e^(−0,012t) + 20.
Wann ist der Tee 65°C warm? 75·e^(−0,012t) = 45 → t = −ln(0,6)/0,012 ≈ 43 Minuten.
Fischpopulation (begrenztes Wachstum)
Max. 200 Fische, aktuell 30, Wachstumsrate 10% der Differenz zum Maximum.
y'(t) = 0,1·(200 − y(t)), y₀ = 30.
Lösung: y(t) = −170·e^(−0,1t) + 200.
Wann 120 Fische? t = −10·ln(80/170) ≈ 7,54 Jahre.